Теория вероятности
1. Случайность.
2. Вероятность.
3. Обманчивость.
Случайность
Что такое случайность?
Видимо, это противоположность закономерности.
На уроке по физике я получил "два", так как не знал
ответа на вопрос учителя, поскольку не сделал домашнее задание.
Это, конечно, закономерность.
В отпуске в другой стране я встречаю одноклассника,
о котором ничего не слышал 20 лет.
Это, конечно, случайность.
Однако ваш одноклассник оказался
там вовсе не случайно.
Он запланировал поездку,
сделал необходимые
действия для этого и т.д.
Однако встреча с Вами для него будет тоже сучайностью,
так как он, в свою очередь, тоже не имел никакой информации о Вас.
Это означает, что вообще говоря, случайность не существует.
Поэтому для нас результат выглядит совершенно случайным.
Например, после броска кубика выпало число 5.
Почему?
Потому что при полете и приземлении кубика
происходило взаимодействие многих факторов
(сила броска, направление броска, сопротивление воздуха, свойства материала,
из которого сделан кубик, сила притяжения Земли...),
в результата которого кубик остановился с числом 5 наверху.
Однако мы абсолютно не в состоянии "просчитать" все это.
Поэтому:
Вероятность
Что такое "Вероятность"?
"Теория вероятности по существу представляет собой
не что иное, как здравый смысл, сведенный к вычислениям".
П.Лаплас.
Это слово широко используется в обыденной жизни и люди полагают, что значение его всем понятно.
Если мы не имеем абсолютно точного, однозначного, ясного ответа о каком-либо событии, явлении,
то используется понятие "Вероятность", которое в каком-то приближении оценивает:
как далеко(близко)
находится возможный ответ от истины.
Однако, как обычно, не все так просто.
Имеются два подхода для определения вероятности:
Субъективный и эмпирический.
В первом случае мы определяем вероятность на основе наблюдений, опыта, анализа ситуации и т.д.
При оценке учитывается как можно больше возможных факторов.
Тем не менее результат сильно зависит от личности(личностей),
это ясно отражается в названии метода - субъективный.
Как правило, в обыденной жизни используется именно этот метод.
Пример:
"Как относится наш сосед к войне России против Украины?"
"Хм...Полагаю, минимум 90%, что он поддерживает эту сволочь".
Во втором случае термин "Вероятность" определяется так:
Вероя́тность - это численная величина возможности наступления некоторого события.
Именно это определение использует раздел математики под названием "Теория Вероятности".
В этом определении имеется одно из ключевых понятий - "Событие".
При первом броске монеты(испытании) выпал "орел".
При втором - "решка".
На результат второго испытания первый бросок не оказывает никакого влияния.
То есть получение "решки" лежит полностью на совести второго броска.
В обычной жизни мы постоянно делаем вероятностные оценки и, возможно,
принимаем опреденные решения на их основе.
Неверное применение теории вероятности приводит,
естественно, к неверным результатам.
Вы завтра утром выйдете из дома и направитесь на работу.
Вопрос. Какова вероятность того, что Вы встретите на улице слона?
Ответ: 50%. Почему? Потому что есть только два варинта. Либо встречу, либо нет.
Следовательно одна вторая, то есть 50%.
Если Вы прочитали вышеизложеный текст, то видите, где ошибка.
Следовало провести "массовые" опыты, например 50 дней проверять,
встрелил ли ли я слона.
Допустим я встретил слона один раз за эти 50 дней.
Тогда вероятность будет равна 2% (1:50=0,02).
Влюбленный говорит своей возлюбленной:
"Послушай, это действительно благодаря Провидению мы встретилиь с тобой."
"Почему? "- спрашивает счастливая девушка?
"Вот смотри, какова вероятность, что я тебя встретил тогда на
вечеринке у моего друга?
Надо было, чтобы от него ушла его жена
(поэтому он, чтобы отвлечься, решил как можно больше быть среди людей).
Более того, ты ведь могла вообще не родиться! Причем с большой вероятностью.
Для этого надо было, чтобы встретились твои мама и папа, что было очень маловероятно,
а ведь скажем твоя мама тоже могла не родиться,
причем тоже с большой вероятностью....
Видишь, родная, это наверняка рука свыше соединила нас."
"Так-то оно так" - отвечает его счастье, но ты неверно применяешь расчеты из теории вероятности.
События должны быть не только случайными,
но и независимыми.
Иными словами, должна отсутствовать причинно-следственная связь между событиями.
Как, например, при подкидывании монеты.
Результат опыта(подкидывания) N5 никак не зависит от опыта N6 или N47.
А вот мое появление на свет зависит от встречи моих родителей,
а их встреча зависит еще от нескольких других событий и т.д.
Знаешь, я пожалуй поищу более умного, чем ты."
Этот пример известен под названием "Принцип индюка".
Человек поймал индюка, привёл его во двор а сам пошел в дом.
Индюк думает: всё, видимо пришел мне конец, наверняка пошел за топором.
Но человек возвращается и в руках у него
вместо топора чашка с едой.
Индюк удивляется - сегодня пронесло, завтра точно убьет.
Однако человек снова приносит ему еду, и так продолжается довольно долго.
В какой-то день индюк как обычно радостно ожидает появления человека,
так как уверен,
в соответствии с теорией вероятности, что получит вполне вкусную еду.
Но у человека оказывается топор в руках и он отрубает индюку голову.
Ошибка в рассуждениях индюка основывалась на том, что он применял теорию вероятности
думая, что он обладает полной информации о происходящем процессе.
Цель человека была откормить индюка, а затем его съесть.
Обманчивость
Объективность и здравый смысл довольно часто отличаются от наших суждений,
причем в различных ситуациях по разным причинам.
Почти все испытывали свою "судьбу" на удачу,
играя в лотерию, спортлото.
Если человек угадает 5 чисел из 49, то получит кучу денег,
а если все 6, то радости не будет границ.
Например, Вы выбрали(зачеркнули) числа 4,12,14,33,37,40.
Вполне приятный на вид вариант и ....вдруг повезет, ведь шанс больше нуля и горадо больше,
чем например, вероятность того, что если мы соберем в мешок все планеты Вселенной и выбираем одну из них,
то нам попадется планета Земля.
Хорошо, а если я зачеркну числа 1,2,3,4,5,6?
Практически никто никогда так не делает,
так как
интуитивно кажется что это гораздр "хуже",
чем если числа выбраны вразброс.
В Англии в 2015 году провели специальный анализ цифр,
выбранных играющими в течении 6 месяцем.
Ни разу ни кем не был выбран набор, в котором числа идут подряд
(например 1,2,3,4,5,6 или 8,9,10,11,12,13).
всех шести "нужных" цифр
во всех вышеприведенных наборах
абсолютно одинаковая и равна одному из 10 068 347 520.
То есть набор 1,2,3,4,5,6 и набор 4,9,15,34,40,45 с совершенно
равной вероятностью принесут Вам честно заработанные тысячи денег.
В 1983 году известные ученые Канеман (Нобелевская премия в 2002 г.) и Тверски
провели следующий эксперимент, ставший одним из самых обсуждаемых и убедительныч доказательств "неразумности" людей.
Известен как "Проблема Линды”.
Условие:
Линде 31 год, она не замужем, откровенная и очень умная.
Изучала философию в университете.
Студенткой много размышляла о дискриминации и социальной несправедливости,
участвовала в демонстрациях против распространения ядерного оружия“.
У разных групп спрашивали, какое из описаний Линды наиболее вероятно:
1. Линда — банковский работник
2. Линда — банковский работник и активная феминистка
От 80 до 90 процентов участников выбирали вариант 2.
Правильный ответ: вариант 1.
Заметим, что в эксперименте принималм участие большие
группы студентов
разных факультетов известных американских университетов.
Одно из простых и фундаментальных правил Теории Вероятности гласит:
Вероятность осуществления одного события меньше, чем вероятность осуществления двух событий.
Иными словами:
всегда меньше или равна вероятности того, что одно из них произойдет отдельно.
Это отчетливо понятно из такого примера.
Завтра я пойду пешком на работу.
Что более вероятно:
1. На улице я встречу мужчину.
2. На улице я встречу мужчину и у него будет ребенок на руках.
Очевидно, что вероятность встретить просто мужчину
(не важно с ребенком или без) выше, чем мужчину с ребенком.
Дополнительно условие уменьшает вероятность.
Какова причина такой массовой "глупости" людей,
интеллектуальные способности которых явно выше среднестатистических?
Дело в том, то в начале была дана определенная информация - описание девушки и это
включает наши эмоции, которые воздействует на объективность суждений.
И наш умный ум говорит: "Ну разумеется
эта девушка Линда не может быть просто кассиром".
И все... наш интеллект пошел ошибочным путем, уже не опираясь на знания и фундаментальные вещи,
однако при этом при этом мы уверенны, что мыслим вполне трезво и логически.
Кроме того, наш язык не является языком программирования, и очень часто
фразы передают дополнительную подразумеваемую информацию.
Предположим, Вы играете в орлянку.
Надо подбрасываеть монету и пытаться угадать,
что выпадет — орёл или решка.
Ясно, что шанс на выигрыш — 50%.
Допустим, что вы подбросили монетку шесть раз подряд и шесть выпал орёл.
Логично ожидать, что на седьмой раз вероятность
выпадения решки существенно повышаетя, не так ли?
Ведь в среднем количество "решек" должно быть равно количеству "орлов".
Основополагающий закон теории вероятности -
Закон больших чисел - дает нам гарантию этого.
Звучит он в упрощенном варианте так:
Результат каждого отдельного события является для нас абсолютно случайным.
Однако, несмотря на это, средний результат всей серии опытов уже не несет случайный характер, а становится закономерным.
В теории вероятностей под законом больших чисел понимается ряд теорем,
в каждой из которых устанавливается факт приближения средних характеристик
большого числа опытов к некоторым определенным постоянным.
Итак, несмотря на то, что 6 раз подряд выпал орел, вероятность того,
что при седьмом броске выпадет решка, по-прежнему 50%. Всегда.
Каждый раз, когда вы подбрасываете монету.
Даже если орёл выпал 20 раз подряд, вероятность не меняется.
Для 21 броска остаются все те же 50%.
Люди часто не осознают, что вероятность желаемого исхода
не зависит от предыдущих исходов случайного события.
В науке это называется ошибкой игрока (или ложным выводом Монте-Карло).
Это сбой нашего мышления, доказывающий, насколько человек может быть алогичен.
Известен как "Джон и Мэри".
Утверждение 1: "Джон и Мэри поженились и родили ребенка".
Утверждение 2: "Джон и Мэри родили ребенка и поженились".
Эти два предложения логически эквивалентны и имеют
одинаковое семантическое смысловое значение,
но в обычном разговоре эти предложения обычно
передают временной порядок,
то есть "Джон и Мэри поженились,
а затем у них родился ребенок" или же:
"У Джона и Мэри родился ребенок, а затем они поженились".
Соответственно, возвращаясь к примеру 5, люди полагают,
что вариант 2 с большей вероятностью соответствует данным о Линде,
так как с таким образованием и личными качествами Линда
наверняка является представителем феминисток.